一题四解  何者最佳

山东省沂源一中 (256100) 任会常

1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km。若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。已知地球半径 R=6400km，地球表面重力加速度为g。这个小行星表面的重力加速度为（   ）

A. 400g     B. g /400     C. 20g     D.g/20

分析：这是一道运用万有引力定律研究行星某个物理量的题目。一方面有F_引=Gm₁m₂/R²，另一方面有F_向=m₁v²/R=m₁Rω²= m₁R（2π/T）²=m₁g。两方面可以组成若干方程去求解此题，因而题目有多种解法。

联想到月球的密度与地球的基本相同，而月球表面的重力加速度比地球的小，故可以理解，小行星表面的重力加速度比g要小。因而A、C两选项不正确。只能从B、D中选取。现在的任务是从两者中选定一个。

解法1：重力加速度表达式相比法

由于星球表面的万有引力等于物体所受的重力，得Gm₁m₂/R²= m₁g，所以g = Gm₂/R²，而m₂=ρV=4πρR³/3，得g =4 GπρR/3。这样，对地球有g =4 Gπρ_地R_地/3；对小行星有g_小=4 Gπρ_小R_小/3。两式相比，考虑到小行星密度与地球相同，则得g_小/g=R_小/R_地=16/6400=1/400。故选项B正确。

解法2：周期相同求解法

由于星球表面的万有引力等于物体做圆周运动的向心力，得Gm₁m₂/R²= m₁R（2π/T）²，

整理得Gm₂/R³= （2π/T）²，该式的物理意义是行星的密度与围绕它做近地飞行的卫星的周期有密切关系，若两行星密度相同，则对应的周期也一样大，故得T_地=T_小。结合m₁g = m₁R（2π/T）²，得g = R（2π/T）²。对地球有g = R_地（2π/T_地）²；对小行星有g _小= R_小（2π/T_小）²。两式相比，考虑到两周期相同，则得g_小/g=R_小/R_地=16/6400=1/400。故选项B正确。

同样，根据卫星运动的角速度相同求解，也应归于此种方法。

解法3：“第一宇宙速度”求解法

由上面的解知道，两行星的近地卫星的周期相同，故可求得两者的“第一宇宙速度”。根据v=2πR/T，对地球有v_地=2πR_地/T_地；对小行星有v_小=2πR_小/T_小，两式相比，并结合两周期相等得v_小/v_地=R_小/R_地。又因为v= (Rg)^1/2 ，得g=v²/R，对地球有g=v_地²/R_地；对小行星有g_小=v_小²/R_小，因此得g_小/g_地= v_小²R_地/v_地²/R_小= R_小/R_地=16/6400=1/400。故选项B正确。

值得注意的是，由于周期24h是已知的，故能求出各自的“第一宇宙速度”来。有兴趣的同学不妨试试，看小行星的“第一宇宙速度”是多大。

解法4：数量级定性判断法

这种方法就是计算出小行星表面的重力加速度，由它的数量级来判断。

根据上面的求解，知道小行星的重力加速度的表达式为g_小=4 Gπρ_小R_小/3，将G=6.67×10^—11N·m²/kg²、R_小=16000m、ρ_小=3000kg/m³代入，得g_小=4×6.67×10^—11×3.14×3000×16000 /3m/s²=1.34×10^-2 m/s²。这个加速度是1的几十分之一，是10的几百分之一。故选项B正确。

同学们，你是否还想到其它的解法？请比较上述四种解法谁更简捷。